趣题「红眼睛与蓝眼睛」
一道有趣的题目。
Description
一个岛上有 $n$ 个人，其中有 $m$ 个红眼睛，$n - m$ 个蓝眼睛。这个岛有三个规则
- 他们不能照镜子，不能看自己眼睛的颜色。
- 他们不能告诉别人对方的眼睛是什么颜色。
- 一旦有人知道了自己是红眼睛，他就会在当天夜里自杀。
如果有一天，一个外来人来到这里对他们所有人说「你们这里有红眼睛的人」
假设每一个人都有着极强的逻辑推理能力。
求证：在这句话公布后地第 $m$ 天晚上这 $m$ 个红眼睛会一起自杀。
注：每一个人是不知道岛上有多少个红眼睛的人的
Solution
乍一看，这题毫无头绪。告诉了一句「你们这里有红眼睛的人」又能怎么样呢？
先来看一个数学归纳法的证明：
如果这个岛上只有一个红眼睛，听到这句话后看到其他人都不是红眼睛，便意识到自己是红眼睛，当天自杀。
假设当这个岛上有 $m$ 个红眼睛，他们会在第 $m$ 天自杀成立
当有 $m + 1$ 个红眼睛的时候，在每个红眼睛看来，都有 $m$ 个红眼睛，这个红眼睛能够推理出如果他不是红眼睛，那么他看到的 $m$ 个红眼睛都会在第 $m$ 天自杀 。而在第 $m$ 天，没有人自杀。一到第 $m + 1$ 天，每个红眼睛都意识到他是红眼睛。于是都在第 $m + 1$ 天自杀了
命题得证。看似没有问题，实际上，除了 $m = 1$ 的情况，这句话就相当于废话。因为没有任何用
要么在这之前红眼睛早就死光了，要么根本就不会死人。
但这并不是一个错误的事情。一个大神的回答说出来了 戳这里
这句话的作用就在于，让 每个人都知道每个人都知道这里有红眼睛的人
进一步地，这句话让 每个人都每个人都知道每个人都知道这里有红眼睛的人 等等
引用这位大神的话，就是：
简单说，「岛上有红眼睛」这件事本来只是一项「共有知识」（Mutual knowledge），公开宣告使它变成了一项「公共知识」（Common knowledge）。这两种知识的区分在认知逻辑里面非常重要，在博弈论中有广泛的应用。
用不严谨的话粗略介绍一下这两个概念：对于一个给定的命题P和一群给定的人，共有知识只需要满足一个条件：这群人中所有人都知道P，那么P就是这群人的共有知识。
公共知识则需要满足以下所有条件：
这群人中
1、所有人都知道P；
2、所有人都知道所有人都知道P；
3、所有人都知道所有人都知道所有人都知道P；
4、所有人都知道所有人都知道所有人都知道所有人都知道P；
5、……
共有知识 转化成 公共知识 的影响是很大的，就像这个例子一样
共有知识 转化成 公共知识 也是很难的，所以累次这个例子不太可能实现
同时这句话也统一了所有人的时间起点，时间在推理中扮演者重要的角色。这句话也让每一个人知道别人也知道这个时间起点 ，这样才有 “第 $m$ 天” 这种说法能够统一（就像人的出生时间不同，自然不能做出有效的推理