BZOJ3143 「HNOI2013」游走

题解
动态规划, 概率期望, 贪心, 高斯消元

Description

$n$ 个点 $m$ 条边的无向连通图，在上面从 $1$ 号点开始随机游走。现在你可以给每条边从 $1$ 到 $m$ 编号作为分数（经过就得分）。求如何编号使得总分的期望最小。输出这个最小值即可。

$n \leq 500$

Solution

如果知道了每条边被经过的期望次数，那么根据排序不等式显然是逆序分配最小。

设 $f_u$ 是 $u$ 点被经过的期望次数，$deg_u$ 表示 $u$ 的度数。那么边 $(u, v)$ 被经过的期望次数是

$f$ 的求法比较简单，即

高斯消元一波再排个序就做完了。时间复杂度 $O(n^3)$

Code

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/**
 * Author: AcFunction
 * Date:   2019-03-18 22:13:03
 * Email:  3486942970@qq.com
**/

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double
#define PII pair <int, int> 
#define pb push_back 
#define Fi first
#define Se second 
#define MP make_pair
#define RG register 
#define rep(i, l, r) for(RG int i = l; i <= r; i++) 
#define per(i, r, l) for(RG int i = r; i >= l; i--)

using namespace std;

void INIT() {
  ios :: sync_with_stdio(false); cin.tie(0); 
}

const int N = 505; 

int n, m, deg[N]; 
PII E[N * N]; 
db a[N][N], t[N]; 
db A[N * N], ans; 
vector <int> g[N]; 

void build(int n) {
  rep(u, 1, n) {
    a[u][u] = 1.0; 
    for(auto v : g[u]) 
      if(v != n)
        a[u][v] -= 1.0 / deg[v];  
  } a[1][n + 1] = 1.0; 
  a[n][n + 1] = -1.0; 
}

void gauss(int n) {
  rep(i, 1, n) {
    int p = i;
    rep(j, i + 1, n) 
      if(fabs(a[j][i]) > fabs(a[p][i] + 1e-13))
        p = j; 
    rep(j, i + 1, n) {
      if(fabs(a[j][i]) < 1e-13) continue ; 
      db cof = a[j][i] / a[i][i]; 
      rep(k, i, n + 1) 
        a[j][k] -= a[i][k] * cof; 
    }
  }
  per(i, n, 1) {
    rep(j, i + 1, n) 
      a[i][n + 1] -= a[i][j] * t[j];
    t[i] = a[i][n + 1] / a[i][i]; 
  }
}

int main() {
  INIT(); 
  cin >> n >> m; 
  rep(i, 1, m) {
    int u, v; cin >> u >> v; 
    E[i] = MP(u, v); 
    deg[u]++, deg[v]++;
    g[u].pb(v), g[v].pb(u); 
  } build(n), gauss(n); 
  rep(i, 1, m) 
    A[i] = 1.0 * t[E[i].Fi] / deg[E[i].Fi] + 
           1.0 * t[E[i].Se] / deg[E[i].Se]; 
  sort(A + 1, A + m + 1);
  rep(i, 1, m) ans += A[i] * (m - i + 1); 
  printf("%.3lf\n", ans);
  return 0; 
}